Exercice 42, § 5

Soit E un espace hilbertien complexe et soit $u$ un opérateur partiel fermé à domaine dense sur E. On dit qu’un opérateur partiel $v$ sur E est compact relativement à $u$ si le domaine de $v$ contient le domaine de $u$ et si la restriction de $v$ à dom($u$) est une application linéaire compacte de $E_u$ dans E.

a) Tout opérateur partiel $v$ qui est compact relativement à $u$ est borné relativement à $u$ et sa norme relative $\|v\|_u$ est nulle. (Si la norme relative n’est pas nulle, construire une suite $(x_n)$ dans dom($u$) convergeant vers 0, telle que $\|v(x_n)\|= 1$ pour tout $n$ et telle que $(u(x_n))$ converge faiblement vers un élément $y$ de E ; démontrer que $y= 0$ et en déduire que $v$ n’est pas relativement compact.)

b) Soit $\lambda \in \mathbf{C}-$ Sp($u$). Soit $v$ un opérateur partiel sur E dont le domaine contient dom($u$). Alors $v$ est compact relativement à $u$ si et seulement si $v\circ R(u, \lambda )$ est un endomorphisme compact de E.