Bài tập 42, § 5

Cho E là một không gian Hilbert phức và cho $u$ là một toán tử bộ phận đóng với miền trù mật trên E. Một toán tử bộ phận $v$ trên E được gọi là compact tương đối với $u$ nếu miền của $v$ chứa miền của $u$ và nếu hạn chế của $v$ vào dom($u$) là một ánh xạ tuyến tính compact từ $E_u$ vào E.

a) Mọi toán tử bộ phận $v$ compact tương đối với $u$ đều bị chặn tương đối với $u$ và chuẩn tương đối $\|v\|_u$ của nó bằng không. (Nếu chuẩn tương đối không bằng không, hãy xây dựng một dãy $(x_n)$ trong dom($u$) hội tụ về 0, sao cho $\|v(x_n)\|= 1$ với mọi $n$ và sao cho $(u(x_n))$ hội tụ yếu đến một phần tử $y$ của E; chứng minh rằng $y= 0$ và suy ra rằng $v$ không compact tương đối.)

b) Cho $\lambda \in \mathbf{C}-$ Sp($u$). Cho $v$ là một toán tử bộ phận trên E có miền chứa dom($u$). Khi đó $v$ compact tương đối với $u$ khi và chỉ khi $v\circ R(u, \lambda )$ là một tự đồng cấu compact của E.