Exercice 43, § 5

Soit E un espace hilbertien complexe.

a) Soit $u$ un opérateur partiel auto-adjoint sur E. Pour tout $\lambda \in \mathbf{R}$, on a $\lambda \in$ Sp$_e(u)$ si et seulement s’il existe une suite $(x_n)$ dans E qui converge faiblement vers 0 dans E et vérifie les conditions

lim inf$_{n\rightarrow+\infty}\|x_n\|>0$, lim$_{n\rightarrow+\infty}(u(x_n)-\lambda x_n) = 0$.

b) Soient $u$ et $v$ des opérateurs partiels auto-adjoints sur E. S’il existe $\lambda \in \mathbf{C}-$ (Sp($u$)$\cup$ Sp($v$)) tel que $R(u, \lambda )-R(v, \lambda )$ est compact, alors Sp$_e(u) =$ Sp$_e(v)$.

c) Soit $u$ un opérateur partiel symétrique fermé sur E. Soient $u_1$ et $u_2$ des extensions auto-adjointes de $u$. Si l’espace Ker($u^*-i$) est de dimension finie, alors Sp$_e(u_1) =$ Sp$_e(u_2)$.

d) Soient $u$ un opérateur partiel auto-adjoint sur E et $v$ un opérateur partiel compact relativement à $u$ (voir l’exercice précédent). L’opérateur partiel $u+v$ est auto-adjoint et Sp$_e(u+v) =$ Sp$_e(u)$.