Bài tập 43, § 5

Cho E là một không gian Hilbert phức.

a) Cho $u$ là một toán tử bộ phận tự liên hợp trên E. Với mọi $\lambda \in \mathbf{R}$, ta có $\lambda \in$ Sp$_e(u)$ khi và chỉ khi tồn tại một dãy $(x_n)$ trong E hội tụ yếu đến 0 trong E và thỏa mãn các điều kiện

lim inf$_{n\rightarrow+\infty}\|x_n\|>0$, lim$_{n\rightarrow+\infty}(u(x_n)-\lambda x_n) = 0$.

b) Cho $u$ và $v$ là các toán tử bộ phận tự liên hợp trên E. Nếu tồn tại $\lambda \in \mathbf{C}-$ (Sp($u$)$\cup$ Sp($v$)) sao cho $R(u, \lambda )-R(v, \lambda )$ là compact, thì Sp$_e(u) =$ Sp$_e(v)$.

c) Cho $u$ là một toán tử bộ phận đối xứng đóng trên E. Cho $u_1$ và $u_2$ là các mở rộng tự liên hợp của $u$. Nếu không gian Ker($u^*-i$) là hữu hạn chiều, thì Sp$_e(u_1) =$ Sp$_e(u_2)$.

d) Cho $u$ là một toán tử bộ phận tự liên hợp trên E và $v$ là một toán tử bộ phận compact đối với $u$ (xem bài tập trước). Toán tử bộ phận $u+v$ là tự liên hợp và Sp$_e(u+v) =$ Sp$_e(u)$.