Exercice 6, § 5

Soient E et F des espaces hilbertiens. Soit $u$ un opérateur partiel fermé à domaine dense de E dans F. Soit $\lambda \in \mathbf{C}^*$ appartenant à l’ensemble résolvant de l’opérateur auto-adjoint $u^*\circ u$ sur E (cf. prop. 12 de IV, p. 241).

a) L’opérateur partiel $u\circ u^*$ de F dans F est auto-adjoint.

b) Pour tout vecteur $x\in$ dom($u^*$), le vecteur

appartient à dom($u\circ u^*$), et la formule

est valide.

c) L’opérateur partiel $u\circ R(u^*\circ u, \lambda )\circ u^*$ est à domaine dense, et est continu sur son domaine.

d) L’opérateur partiel $u\circ u^*-\lambda 1_F$ est surjectif.

e) On a $\lambda \notin$ Sp($u\circ u^*$).

f) On a l’identité

dans $\mathscr{L}(F)$ (où $u\circ R(u^*\circ u, \lambda )\circ u^*$ désigne, par abus de notation, l’endomorphisme de F qui coïncide avec cet opérateur partiel sur son domaine, cf. question c)).

g) On a la relation

h) L’opérateur partiel $u$ définit par passage aux sous-espaces un isomorphisme de Ker($u^*\circ u-\lambda 1_E$) dans Ker($u\circ u^*-\lambda 1_F$).