Bài tập 6, § 5

Cho E và F là các không gian Hilbert. Cho $u$ là một toán tử bộ phận đóng có miền xác định trù mật từ E vào F. Cho $\lambda \in \mathbf{C}^*$ thuộc tập giải thức của toán tử tự liên hợp $u^*\circ u$ trên E (xem Mệnh đề 12 của IV, p. 241).

a) Chứng minh rằng toán tử bộ phận $u\circ u^*$ từ F vào F là tự liên hợp.

b) Chứng minh rằng với mọi vectơ $x\in$ dom($u^*$), vectơ

thuộc dom($u\circ u^*$), và công thức

được thỏa mãn.

c) Chứng minh rằng toán tử bộ phận $u\circ R(u^*\circ u, \lambda )\circ u^*$ có miền xác định trù mật, và liên tục trên miền xác định của nó.

d) Chứng minh rằng toán tử bộ phận $u\circ u^*-\lambda 1_F$ là toàn ánh.

e) Chứng minh rằng $\lambda \notin$ Sp($u\circ u^*$).

f) Chứng minh đẳng thức

trong $\mathscr{L}(F)$ (trong đó $u\circ R(u^*\circ u, \lambda )\circ u^*$, do lạm dụng ký hiệu, chỉ tự đồng cấu của F trùng với toán tử bộ phận này trên miền xác định của nó, xem câu hỏi c)).

g) Chứng minh rằng ta có quan hệ

h) Chứng minh rằng toán tử bộ phận $u$ xác định, bằng cách chuyển qua các không gian con, một đẳng cấu từ Ker($u^*\circ u-\lambda 1_E$) lên Ker($u\circ u^*-\lambda 1_F$).