Exercice 7, § 5

Soit A un ensemble d’opérateurs fermés à domaine dense sur un espace hilbertien E. Soit $\lambda \in \mathbf{C}$. On dit que A est $\lambda$-commutatif si $\lambda$ appartient à l’ensemble résolvant de $u$ pour tout $u\in A$, et si les endomorphismes $R(u, \lambda )$ de E, pour $u\in A$, sont deux à deux permutables.

On dit que A est commutatif au sens de la résolvante s’il existe $\lambda \in \mathbf{C}$ tel que A est $\lambda$-commutatif.

Un ensemble réduit à un seul opérateur fermé à domaine dense $u$ est commutatif si, et seulement si, l’ensemble résolvant de $u$ n’est pas vide.

a) Si $A\subset \mathscr{L}$ (E), alors A est commutatif au sens de la résolvante si, et seulement si, la réunion des spectres des éléments de A n’est pas égale à $\mathbf{C}$, et si A est commutatif.

b) Soit A un ensemble d’opérateurs fermés à domaine dense sur E qui est $\lambda$-commutatif. Alors A est $\mu$-commutatif pour tout nombre complexe $\mu$ appartenant à l’ensemble résolvant de tout $u\in A$.

c) Soit A un ensemble d’opérateurs fermés à domaine dense sur E, commutatif au sens de la résolvante, et tel que $u^*\in A$ pour tout $u\in A$. Il existe un espace topologique localement compact X, une mesure positive $\mu$ sur X, un isomorphisme isométrique $v$ de $L^2(X, \mu)$ sur E, et une application $u\mapsto g_u$ de A dans l’ensemble des fonctions $\mu$-mesurables tels que $u=v\circ m_{g_u}\circ v^{-1}$ pour tout $u\in A$.