Bài tập 7, § 5

Cho A là một tập hợp các toán tử đóng có miền xác định trù mật trên một không gian Hilbert E. Cho $\lambda \in \mathbf{C}$. Ta nói rằng A là $\lambda$-giao hoán nếu $\lambda$ thuộc tập giải của $u$ đối với mọi $u\in A$, và nếu các tự đồng cấu $R(u, \lambda )$ của E, với $u\in A$, từng đôi một hoán vị được.

Ta nói rằng A là giao hoán theo nghĩa của tập giải nếu tồn tại $\lambda \in \mathbf{C}$ sao cho A là $\lambda$-giao hoán.

Một tập hợp rút gọn thành một toán tử đóng duy nhất có miền xác định trù mật $u$ là giao hoán khi và chỉ khi tập giải của $u$ là không rỗng.

a) Nếu $A\subset \mathscr{L}$ (E), thì A là giao hoán theo nghĩa của tập giải khi và chỉ khi hợp của các phổ của các phần tử của A không bằng $\mathbf{C}$, và A là giao hoán.

b) Cho A là một tập hợp các toán tử đóng có miền xác định trù mật trên E, là $\lambda$-giao hoán. Khi đó A là $\mu$-giao hoán với mọi số phức $\mu$ thuộc tập giải của mọi $u\in A$.

c) Cho A là một tập hợp các toán tử đóng có miền xác định trù mật trên E, giao hoán theo nghĩa của tập giải, và sao cho $u^*\in A$ với mọi $u\in A$. Tồn tại một không gian tôpô compact địa phương X, một độ đo dương $\mu$ trên X, một đẳng cấu đẳng cự $v$ của $L^2(X, \mu)$ lên E, và một ánh xạ $u\mapsto g_u$ của A vào tập hợp các hàm $\mu$-đo được sao cho $u=v\circ m_{g_u}\circ v^{-1}$ với mọi $u\in A$.