Exercice 8, § 5

Soient $u$ et $v$ des opérateurs partiels normaux sur un espace hilbertien E. Les assertions suivantes sont équivalentes :

a) Les endomorphismes $b(u)$ et $b(v)$ sont permutables ;

b) Pour tout partie universellement mesurable A de $\mathbf{C}$, les projecteurs spectraux de $u$ et $v$ sur A commutent ;

Si l’ensemble résolvant de $u$ et $v$ est non vide, ces assertions équivalent à

c) Pour tout $\lambda \notin$ Sp($u$) et $\lambda '\notin$ Sp($v$), les résolvantes $R(u, \lambda )$ et $R(v, \lambda ')$ commutent.

Si $u$ et $v$ sont auto-adjoints, ces assertions équivalent à

d) Pour tout $t\in \mathbf{R}$, les endomorphismes unitaires $e^{itu}$ et $e^{itv}$ sont permutables.