Bài tập 8, § 5

Cho $u$ và $v$ là các toán tử bộ phận chuẩn trên một không gian Hilbert E. Các khẳng định sau là tương đương:

a) Các tự đồng cấu $b(u)$ và $b(v)$ giao hoán;

b) Với mọi tập con đo được phổ quát A của $\mathbf{C}$, các phép chiếu phổ của $u$ và $v$ trên A giao hoán;

Nếu tập giải thức của $u$ và $v$ là khác rỗng, các khẳng định này tương đương với

c) Với mọi $\lambda \notin$ Sp($u$) và $\lambda '\notin$ Sp($v$), các giải thức $R(u, \lambda )$ và $R(v, \lambda ')$ giao hoán.

Nếu $u$ và $v$ là tự liên hợp, các khẳng định này tương đương với

d) Với mọi $t\in \mathbf{R}$, các tự đồng cấu unita $e^{itu}$ và $e^{itv}$ giao hoán.