Exercice 9, § 5

Soit $u$ un opérateur partiel fermé à domaine dense sur un espace hilbertien E. Les assertions suivantes sont équivalentes :

a) L’opérateur $u$ est normal ;

b) Il existe des opérateurs auto-adjoints $u_1$ et $u_2$ sur E, qui commutent au sens de la résolvante, et tels que $u=u_1+iu_2$;

c) On a dom($u$) $=$ dom($u^*$) et $\|u(x)\|=\|u^*(x)\|$ pour tout $x\in$ dom($u$);

d) On a $uu^*=u^*u$.

Si l’ensemble résolvant de $u$ est non vide, ces assertions équivalent à

e) Pour tout $\lambda \notin$ Sp($u$), la résolvante $R(u, \lambda )$ est normale.