Bài tập 9, § 5

Cho $u$ là một toán tử bộ phận đóng với miền xác định trù mật trên một không gian Hilbert E. Các khẳng định sau là tương đương:

a) Toán tử $u$ là chuẩn thường ;

b) Tồn tại các toán tử tự liên hợp $u_1$ và $u_2$ trên E, giao hoán theo nghĩa của giải thức, và sao cho $u=u_1+iu_2$;

c) Ta có dom($u$) $=$ dom($u^*$) và $\|u(x)\|=\|u^*(x)\|$ với mọi $x\in$ dom($u$);

d) Ta có $uu^*=u^*u$.

Nếu tập giải thức của $u$ là khác rỗng, các khẳng định này tương đương với

e) Với mọi $\lambda \notin$ Sp($u$), giải thức $R(u, \lambda )$ là chuẩn thường.