Exercice 11, § 2

Soit E un espace hilbertien.

a) Soit $\varrho$ une représentation unitaire du groupe $\mathbf{R}$ dans E. Soit D un sous-espace dense de E stable par $\varrho$ tel que, pour tout $x\in D$, l’application $\psi_x:t\mapsto$ $\varrho (t)x$ est différentiable sur $\mathbf{R}$. Soit $u$ l’opérateur partiel de domaine D tel que $u(x) =i^{-1}\psi '_x(0)$ pour tout $x\in D$. Alors $u$ est essentiellement auto-adjoint et $\overline{u}$ est le générateur infinitésimal de $\varrho$.

b) Soit $u$ un opérateur partiel auto-adjoint sur E et soit D un sous-espace dense de dom($u$). Supposons que pour tout $t\in \mathbf{R}$, on a exp($itu$)$(D)\subset D$. Alors l’espace D est dense dans $E_u$.

c) Soit $u$ un opérateur partiel auto-adjoint sur E. Soient F un espace hilbertien et $v$ un opérateur partiel auto-adjoint sur F. L’opérateur partiel $u\otimes 1_F+ 1_E\otimes E$ sur $E\otimes F$ définit un opérateur partiel essentiellement auto-adjoint sur $E\widehat{\otimes}_2F$.