Bài tập 11, § 2

Cho E là một không gian Hilbert.

a) Cho $\varrho$ là một biểu diễn unita của nhóm $\mathbf{R}$ trong E. Cho D là một không gian con trù mật của E ổn định dưới $\varrho$ sao cho, với mọi $x\in D$, ánh xạ $\psi_x:t\mapsto$ $\varrho (t)x$ khả vi trên $\mathbf{R}$. Cho $u$ là toán tử bộ phận có miền xác định D sao cho $u(x) =i^{-1}\psi '_x(0)$ với mọi $x\in D$. Khi đó $u$ là tự liên hợp cốt yếu và $\overline{u}$ là phần tử sinh vô cùng bé của $\varrho$.

b) Cho $u$ là một toán tử bộ phận tự liên hợp trên E và cho D là một không gian con trù mật của miền xác định của $u$. Giả sử rằng với mọi $t\in \mathbf{R}$, ta có exp($itu$)$(D)\subset D$. Khi đó không gian D trù mật trong $E_u$.

c) Cho $u$ là một toán tử bộ phận tự liên hợp trên E. Cho F là một không gian Hilbert và $v$ là một toán tử bộ phận tự liên hợp trên F. Toán tử bộ phận $u\otimes 1_F+ 1_E\otimes E$ trên $E\otimes F$ xác định một toán tử bộ phận tự liên hợp cốt yếu trên $E\widehat{\otimes}_2F$.