Exercice 12, § 2

Soit G un groupe de Lie réel et $\varrho$ une représentation unitaire de G dans un espace hilbertien E. On dit qu’un élément $x\in E$ est un vecteur de classe $C^{\infty}$ si l’application de G dans E définie par $g\mapsto \varrho (g)x$ est de classe $C^{\infty}$. a) Soit $\pi$ une représentation unitaire de G dans F et $u: E\rightarrow F$ un G-morphisme. Pour tout vecteur $x\in E$ de classe $C^{\infty}$, le vecteur $u(x)$ est de classe $C^{\infty}$ dans F.

On note $C^{\infty}(\varrho )$ l’espace des vecteurs de classe $C^{\infty}$ dans E. D’après la question a), tout G-morphisme de $\varrho$ dans $\pi$ définit, par passage aux sous-espaces, une application linéaire de $C^{\infty}(\varrho )$ dans $C^{\infty}(\pi )$.

b) L’espace $C^{\infty}(\varrho )$ est dense dans E.