Bài tập 12, § 2

Cho G là một nhóm Lie thực và $\varrho$ là một biểu diễn unita của G trong một không gian Hilbert E. Một phần tử $x\in E$ được gọi là một vectơ thuộc lớp $C^{\infty}$ nếu ánh xạ từ G vào E xác định bởi $g\mapsto \varrho (g)x$ thuộc lớp $C^{\infty}$. a) Cho $\pi$ là một biểu diễn unita của G trong F và $u: E\rightarrow F$ là một cấu xạ G. Với mọi vectơ $x\in E$ thuộc lớp $C^{\infty}$, vectơ $u(x)$ thuộc lớp $C^{\infty}$ trong F.

Ta ký hiệu bởi $C^{\infty}(\varrho )$ không gian các vectơ thuộc lớp $C^{\infty}$ trong E. Theo câu hỏi a), mọi cấu xạ G từ $\varrho$ vào $\pi$ xác định, bằng cách chuyển qua các không gian con, một ánh xạ tuyến tính từ $C^{\infty}(\varrho )$ vào $C^{\infty}(\pi )$.

b) Không gian $C^{\infty}(\varrho )$ là trù mật trong E.