Exercice 13, § 2

Soit $\pi$ une représentation unitaire irréductible de G dans un espace hilbertien complexe E. Soit $\varrho$ une représentation unitaire de G dans un espace hilbertien complexe F. On suppose qu’il existe un opérateur partiel fermé à domaine dense $u$ de E dans F dont le domaine est un sous-espace G-stable de E et qui vérifie $u\circ \pi (g) =\varrho (g)\circ u$ pour tout $g\in G$.

L’opérateur partiel $u$ appartient à $\mathscr{L}(E; F)$, et il existe $\lambda >0$ tel que $\lambda u$ est isométrique.