Exercice 14, § 2

Soient Z un sous-groupe du centre C de G tel que $C/Z$ est compact et $\nu$ une mesure de Haar sur $G/Z$. Soit $\pi$ une représentation unitaire irréductible de G dans un espace hilbertien complexe E. On suppose que $\pi$ est de carré intégrable modulo le centre. Soit $u\in \mathscr{L}(E)$ un endomorphisme nucléaire (déf. 4 de IV, p. 169).

a) Pour tout $x$ et $y$ dans E, la fonction

appartient à $\mathscr{F}(G/Z)$.

b) Pour tout $x$ et $y$ dans E, on a

$\int_{G/Z}\langle x|\pi (g)u\pi (g^{-1})y\rangle d\nu (g) =\frac{1}{c_Z(\pi)}\langle x|y\rangle$ Tr($u$).