Bài tập 14, § 2

Cho Z là một nhóm con của tâm C của G sao cho $C/Z$ là compact và $\nu$ là một độ đo Haar trên $G/Z$. Cho $\pi$ là một biểu diễn unita bất khả quy của G trong một không gian Hilbert phức E. Giả sử rằng $\pi$ khả tích bình phương theo modulo tâm. Cho $u\in \mathscr{L}(E)$ là một tự đồng cấu hạch nhân (Định nghĩa 4 của IV, p. 169).

a) Với mọi $x$ và $y$ trong E, hàm

thuộc $\mathscr{F}(G/Z)$.

b) Với mọi $x$ và $y$ trong E, ta có

$\int_{G/Z}\langle x|\pi (g)u\pi (g^{-1})y\rangle d\nu (g) =\frac{1}{c_Z(\pi)}\langle x|y\rangle$ Tr($u$).