Exercice 15, § 2

Soient Z un sous-groupe du centre C de G tel que $C/Z$ est compact et $\nu$ une mesure de Haar sur $G/Z$. Soit $\pi$ une représentation unitaire irréductible de G dans un espace hilbertien complexe E. Notons $\chi$ la restriction à Z du caractère central de $\pi$.

On note $f_{x,y}$ le coefficient matriciel $g\mapsto \langle x|\pi (g)y\rangle$ pour $(x, y)\in E^2$. Soit $p\geqslant 1$ un nombre réel et $q$ l’exposant conjugué de $p$.

a) Soit $y\in E$ tel que les coefficients matriciels $f_{x,y}$ appartiennent à $\mathscr{L}_{\chi}^p(G)$. L’application $x\mapsto f_{x,y}$ est un G-morphisme continu de $\pi$ dans $\boldsymbol{\delta }^{(p)}_{G,\chi}$.

b) Soit $\varrho$ une représentation unitaire irréductible de G dans un espace hilbertien complexe F dont la restriction Z du caractère central est égal à $\chi$. On suppose que $p >1$ et que les coefficients matriciels de $\pi$ appartiennent à $\mathscr{L}_{\chi}^p(G)$ et ceux de $\varrho$ appartiennent à $\mathscr{L}_{\chi}^q(G)$. Soient $x_0\in E$ et $y_0\in F$. Pour tout $x\in E$, il existe une forme linéaire continue $\ell_x$ de F dans $\mathbf{C}$ telle que

pour tout $y\in F$.

c) Il existe une application linéaire continue $u$ de E dans F telle que $\ell_x(y) =$ $\langle u(x)|y\rangle$ pour tout $(x, y)\in E\times F$.

d) On a

pour $(x, x', y, y')\in E^2\times F^2$.

e) On suppose que $p= 1$. Les coefficients matriciels de $\pi$ sont orthogonaux à ceux de $\varrho$.