Bài tập 15, § 2

Cho Z là một nhóm con của tâm C của G sao cho $C/Z$ là compact, và cho $\nu$ là một độ đo Haar trên $G/Z$. Cho $\pi$ là một biểu diễn unita bất khả quy của G trong một không gian Hilbert phức E. Ký hiệu $\chi$ là hạn chế lên Z của đặc trưng trung tâm của $\pi$.

Gọi $f_{x,y}$ là hệ số ma trận $g\mapsto \langle x|\pi (g)y\rangle$ với $(x, y)\in E^2$. Cho $p\geqslant 1$ là một số thực và q là số mũ liên hợp của $p$.

a) Cho $y\in E$ sao cho các hệ số ma trận $f_{x,y}$ thuộc $\mathscr{L}_{\chi}^p(G)$. Ánh xạ $x\mapsto f_{x,y}$ là một cấu xạ G liên tục của $\pi$ vào $\boldsymbol{\delta }^{(p)}_{G,\chi}$.

b) Cho $\varrho$ là một biểu diễn unita bất khả quy của G trong một không gian Hilbert phức F mà hạn chế lên Z của đặc trưng trung tâm của nó bằng $\chi$. Giả sử rằng $p >1$ và các hệ số ma trận của $\pi$ thuộc $\mathscr{L}_{\chi}^p(G)$ còn các hệ số ma trận của $\varrho$ thuộc $\mathscr{L}_{\chi}^q(G)$. Cho $x_0\in E$ và $y_0\in F$. Với mọi $x\in E$, tồn tại một dạng tuyến tính liên tục $\ell_x$ trên F sao cho

với mọi $y\in F$.

c) Tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục $u$ từ E vào F sao cho $\ell_x(y) =$ $\langle u(x)|y\rangle$ với mọi $(x, y)\in E\times F$.

d) Ta có

với $(x, x', y, y')\in E^2\times F^2$.

e) Giả sử rằng $p= 1$. Các hệ số ma trận của $\pi$ trực giao với các hệ số ma trận của $\varrho$.