Exercice 16, § 2

On pose $G =\mathbf{S}\mathbf{L}(2,\mathbf{R})$ et on note $\mathbf{H}$ l’ouvert de $\mathbf{C}$ formé des nombres complexes $z$ tels que $\mathscr{I}(z)>0$. On note $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $\mathbf{C}$. Pour tout élément

de G et tout $z\in \mathbf{H}$, on pose $j(g, z) =cz+d$.

a) Le groupe G agit continûment à gauche sur $\mathbf{H}$ par

La mesure $\nu =y^{-2}\cdot \mu$ est G-invariante.

b) Soit $n$ un entier tel que $n\geqslant 2$. On note $E_n$ l’espace vectoriel des fonctions holomorphes $f:\mathbf{H}\rightarrow \mathbf{C}$ telles que la fonction $z\mapsto |f(z)|^2\mathscr{I}(z)^n$ appartient à $\mathscr{L}^2(\mathbf{H}, \nu )$. L’espace $E_n$ muni de la forme sesquilinéaire

est un espace hilbertien de type dénombrable et de dimension infinie.

c) Pour tout $g\in G$ et tout $f\in E_n$, on pose

L’application $\pi_n$ définit une représentation unitaire de G dans $E_n$.

d) La fonction $f_n$ définie par $f_n(z) = (z+i)^{-n}$ appartient à $E_n$; elle vérifie $\pi_n(k)f_n=\chi_{-n}(k)f_n$ pour tout $k\in \mathbf{S}\mathbf{O}(\mathbf{R}^2)$, où $\chi_n$ est le caractère tel que

$(($ cos($\theta$ ) sin($\theta$ )))$_{in\theta}$

$-$ sin($\theta$ ) cos($\theta$ )

pour tout $\theta \in \mathbf{R}$.

e) Soit F une sous-représentation de $E_n$. L’orthoprojecteur de $E_n$ dont l’image est la composante $\chi_{-n}$ isotypique de la restriction de $\pi_n$ à $\mathbf{S}\mathbf{O}(\mathbf{R}^2)$ est donnée par $f\mapsto -(2i)^nf(i)f_n$. (Utiliser le cor. 2 de V, p. 465 et la formule intégrale de Cauchy, FVC, à paraître.)

f) La représentation $\pi_n$ est irréductible.

g) Le coefficient matriciel $g\mapsto \langle f_n|\pi_n(g)f_n\rangle$ est non nul et appartient à $\mathscr{L}^2(G)$.

h) La représentation $\pi_n$ est de carré intégrable et il existe une constante $c >0$ telle que le degré formel de $\pi_n$ est $c(n-1)$.