Bài tập 16, § 2

Cho $G =\mathbf{S}\mathbf{L}(2,\mathbf{R})$ và gọi $\mathbf{H}$ là tập con mở của $\mathbf{C}$ gồm các số phức $z$ sao cho $\mathscr{I}(z)>0$. Gọi $\mu$ là độ đo Lebesgue trên $\mathbf{C}$. Với mọi phần tử

của G và mọi $z\in \mathbf{H}$, đặt $j(g, z) =cz+d$.

a) Nhóm G tác động liên tục bên trái trên $\mathbf{H}$ bởi

Độ đo $\nu =y^{-2}\cdot \mu$ là G-bất biến.

b) Cho $n$ là một số nguyên sao cho $n\geqslant 2$. Gọi $E_n$ là không gian vectơ của các hàm chỉnh hình $f:\mathbf{H}\rightarrow \mathbf{C}$ sao cho hàm $z\mapsto |f(z)|^2\mathscr{I}(z)^n$ thuộc về $\mathscr{L}^2(\mathbf{H}, \nu )$. Không gian $E_n$ được trang bị dạng song tuyến Hermit

là một không gian Hilbert kiểu đếm được và có chiều vô hạn.

c) Với mọi $g\in G$ và mọi $f\in E_n$, đặt

Ánh xạ $\pi_n$ xác định một biểu diễn unita của G trong $E_n$.

d) Hàm $f_n$ được xác định bởi $f_n(z) = (z+i)^{-n}$ thuộc về $E_n$; nó thỏa mãn $\pi_n(k)f_n=\chi_{-n}(k)f_n$ với mọi $k\in \mathbf{S}\mathbf{O}(\mathbf{R}^2)$, trong đó $\chi_n$ là đặc trưng sao cho

$(($ cos($\theta$ ) sin($\theta$ )))$_{in\theta}$

$-$ sin($\theta$ ) cos($\theta$ )

với mọi $\theta \in \mathbf{R}$.

e) Cho F là một biểu diễn con của $E_n$. Phép chiếu trực giao của $E_n$ có ảnh là thành phần đẳng kiểu $\chi_{-n}$ của hạn chế của $\pi_n$ vào $\mathbf{S}\mathbf{O}(\mathbf{R}^2)$ được cho bởi $f\mapsto -(2i)^nf(i)f_n$. (Dùng Hệ quả 2 của V, p. 465 và công thức tích phân Cauchy, FVC, sẽ xuất hiện.)

f) Biểu diễn $\pi_n$ là bất khả quy.

g) Hệ số ma trận $g\mapsto \langle f_n|\pi_n(g)f_n\rangle$ là khác không và thuộc về $\mathscr{L}^2(G)$.

h) Biểu diễn $\pi_n$ là bình phương khả tích và tồn tại một hằng số $c >0$ sao cho bậc hình thức của $\pi_n$ là $c(n-1)$.