Exercice 18, § 2

Soit X un espace localement compact muni d’une mesure positive bornée $\mu$. Pour tout espace de Banach F, on note $S(X, \mu; F)$ l’espace des classes de fonctions $\mu$-mesurables de X dans F modulo la relation d’égalité $\mu$-presque partout, muni de la topologie de la convergence en mesure (INT, IV, p. 194, § 5, n$^o11$). On note $\mathscr{A}$ la sous-algèbre commutative de $\mathscr{L}(L^2_{\mathbf{C}}(X, \mu))$ formée par les endomorphismes de multiplication par des fonctions $f\in \mathscr{L}_{\mathbf{C}}^{\infty}(X, \mu)$.

On note $e:\mathbf{R}\rightarrow \mathbf{C}$ l’homomorphisme $t\mapsto$ exp(2$i\pi t$).

Soit E un espace vectoriel topologique.

a) Soit $f\in S(X, \mu;\mathbf{R})$ telle que $|f(x)|\geqslant 1$ pour $\mu$-presque tout $x\in X$. Il existe un nombre réel $t\in ]0,1[$ tel que

b) Soit $u$ une application linéaire de E dans $S(X, \mu;\mathbf{R})$. Pour tout $x\in E$, on note $\varrho_u(x)$ l’élément de $\mathscr{A}$ donné par l’endomorphisme de multiplication par la fonction $e\circ u(x)$, qui appartient à $\mathscr{L}_{\mathbf{C}}^{\infty}(X, \mu)$. L’application $\varrho_u$ est une représentation continue de G dans $L^2_{\mathbf{C}}(X, \mu)$ si et seulement si l’application $u$ est continue. (Si $u$ n’est pas continue, utiliser la question précédente pour vérifier que $\varrho$ n’est pas continue.)

c) Soit $\varrho$ une représentation unitaire de E dans $L^2(X, \mu)$ dont l’image est contenue dans $\mathscr{A}$. Il existe une unique application linéaire continue $u: E\rightarrow$ $S(X, \mu;\mathbf{R})$ telle que $\varrho =\varrho_u$. (Considérer d’abord le cas où $E =\mathbf{R}$, et appliquer alors le théorème de Stone.)