Bài tập 18, § 2

Cho X là một không gian địa phương compact được trang bị một độ đo dương bị chặn $\mu$. Với mọi không gian Banach F, ký hiệu $S(X, \mu; F)$ là không gian các lớp của các ánh xạ $\mu$-đo được từ X vào F theo quan hệ đẳng thức $\mu$-hầu khắp nơi, được trang bị tôpô của sự hội tụ theo độ đo (INT, IV, p. 194, § 5, n$^o11$). Ký hiệu $\mathscr{A}$ là đại số con giao hoán của $\mathscr{L}(L^2_{\mathbf{C}}(X, \mu))$ được tạo bởi các tự đồng cấu phép nhân bởi các hàm $f\in \mathscr{L}_{\mathbf{C}}^{\infty}(X, \mu)$.

Ký hiệu $e:\mathbf{R}\rightarrow \mathbf{C}$ là đồng cấu $t\mapsto$ exp(2$i\pi t$).

Cho E là một không gian vectơ tôpô.

a) Cho $f\in S(X, \mu;\mathbf{R})$ sao cho $|f(x)|\geqslant 1$ với $\mu$-hầu mọi $x\in X$. Tồn tại một số thực $t\in ]0,1[$ sao cho

b) Cho $u$ là một ánh xạ tuyến tính từ E vào $S(X, \mu;\mathbf{R})$. Với mọi $x\in E$, ký hiệu $\varrho_u(x)$ là phần tử của $\mathscr{A}$ được cho bởi tự đồng cấu phép nhân bởi hàm $e\circ u(x)$, thuộc $\mathscr{L}_{\mathbf{C}}^{\infty}(X, \mu)$. Ánh xạ $\varrho_u$ là một biểu diễn liên tục của G trong $L^2_{\mathbf{C}}(X, \mu)$ khi và chỉ khi ánh xạ $u$ là liên tục. (Nếu $u$ không liên tục, dùng câu hỏi trước để kiểm tra rằng $\varrho$ không liên tục.)

c) Cho $\varrho$ là một biểu diễn unita của E trong $L^2(X, \mu)$ có ảnh được chứa trong $\mathscr{A}$. Tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục duy nhất $u: E\rightarrow$ $S(X, \mu;\mathbf{R})$ sao cho $\varrho =\varrho_u$. (Trước hết xét trường hợp $E =\mathbf{R}$, rồi áp dụng định lý Stone.)