Exercice 3, § 2

Soit $G =\mathbf{R}$ et soit H le groupe $\mathbf{R}$ muni de la topologie discrète et de la mesure de comptage, qui est une mesure de Haar.

a) Pour tout $t\in G$, et tout $f\in L^2$(H), l’application $\varrho (t)f:x\mapsto f(x+t)$ appartient à $L^2(H)$; l’application $\varrho (t)$ est une application unitaire sur $L^2(H)$. b) Pour tous $f$ et $g$ dans $L^2$(H), l’application de G dans $\mathbf{C}$ définie par $t\mapsto \langle f|\varrho (t)g\rangle$ est mesurable. c) Soient $f$ et $g$ dans $L^2(H)$. S’il existe $t\in \mathbf{R}$ tel que $\langle f|\varrho (t)g\rangle$ est non nul, alors l’application $t\mapsto \langle f|\varrho (t)g\rangle$ de G dans $\mathbf{C}$ n’est pas continue. (En particulier, l’hypothèse que E est de type dénombrable ne peut pas être omise du cor. 2 de INT, VIII, p. 171, §4, n$^o7.$)

d) Il existe $f\in L^2(H)$ tel que le sous-espace de $L^2(H)$ engendré par les éléments $\varrho (t)f$, où $t\in \mathbf{R}$, est dense dans $L^2(H)$.