Bài tập 3, § 2

Cho $G =\mathbf{R}$ và cho H là nhóm $\mathbf{R}$ được trang bị tôpô rời rạc và độ đo đếm, là một độ đo Haar.

a) Với mọi $t\in G$, và mọi $f\in L^2$(H), ánh xạ $\varrho (t)f:x\mapsto f(x+t)$ thuộc $L^2(H)$; ánh xạ $\varrho (t)$ là một ánh xạ unita trên $L^2(H)$. b) Với mọi $f$ và $g$ trong $L^2$(H), ánh xạ từ G vào $\mathbf{C}$ được xác định bởi $t\mapsto \langle f|\varrho (t)g\rangle$ là đo được. c) Cho $f$ và $g$ thuộc $L^2(H)$. Nếu tồn tại $t\in \mathbf{R}$ sao cho $\langle f|\varrho (t)g\rangle$ khác không, thì ánh xạ $t\mapsto \langle f|\varrho (t)g\rangle$ từ G vào $\mathbf{C}$ không liên tục. (Đặc biệt, giả thiết rằng E có kiểu đếm được không thể được bỏ qua trong Hệ quả 2 của INT, VIII, p. 171, §4, n$^o7.$)

d) Tồn tại $f\in L^2(H)$ sao cho không gian con của $L^2(H)$ sinh bởi các phần tử $\varrho (t)f$, với $t\in \mathbf{R}$, là trù mật trong $L^2(H)$.