Exercice 6, § 2

On suppose que le groupe G est unimodulaire. On note $\widehat{G}_d\subset \widehat{G}$ l’ensemble des classes de représentations irréductibles unitaires de carré intégrable de G. Pour $\pi \in \widehat{G}_d$, on note $p_{\pi}$ l’orthoprojecteur de $L^2(G)$ dont l’image est la composante $\pi$-isotypique de la représentation régulière droite de G.

a) Soit $f\in \mathscr{L}^2(G)$ et soit $\pi \in \widehat{G}_d$. On note E l’espace de $\pi$. L’application $g\mapsto f(g)\pi (g)$ appartient à $L^1(G;\mathscr{L}(E))$; l’endomorphisme

est un endomorphisme de Hilbert–Schmidt, noté $v=\pi (f)$.

b) Soit $f\in \mathscr{L}^2(G)$. On a $\|\pi (\overline{f})\|_2=\|p_{\pi}(f)\|$.

c) Soit $L^2_d(G)$ le sous-espace fermé de $L^2(G)$ engendré par les composantes $\pi$-isotypiques de $L^2(G)$ pour $\pi \in \widehat{G}_d$. C’est la somme hilbertienne des images des orthoprojecteurs $p_{\pi}$ pour $\pi \in \widehat{G}_d$. Pour tout $f\in L^2_d$(G), on a

où $c(\pi )$ est le degré formel de $\pi$ relatif à $\{e\}$.