Bài tập 6, § 2

Ta giả sử rằng nhóm G là đơn môđula. Ta ký hiệu bởi $\widehat{G}_d\subset \widehat{G}$ tập hợp các lớp của các biểu diễn unitar bất khả quy khả tích bình phương của G. Với $\pi \in \widehat{G}_d$, ta ký hiệu bởi $p_{\pi}$ phép chiếu trực giao của $L^2(G)$ mà ảnh của nó là thành phần đẳng kiểu $\pi$ của biểu diễn chính quy phải của G.

(a) Cho $f\in \mathscr{L}^2(G)$ và cho $\pi \in \widehat{G}_d$. Ta ký hiệu bởi E không gian của $\pi$. Ánh xạ $g\mapsto f(g)\pi (g)$ thuộc về $L^1(G;\mathscr{L}(E))$; tự đồng cấu

là một tự đồng cấu Hilbert–Schmidt, được ký hiệu $v=\pi (f)$.

(b) Cho $f\in \mathscr{L}^2(G)$. Ta có $\|\pi (\overline{f})\|_2=\|p_{\pi}(f)\|$.

(c) Gọi $L^2_d(G)$ là không gian con đóng của $L^2(G)$ sinh bởi các thành phần đẳng kiểu $\pi$ của $L^2(G)$ với $\pi \in \widehat{G}_d$. Nó là tổng Hilbert của các ảnh của các phép chiếu trực giao $p_{\pi}$ với $\pi \in \widehat{G}_d$. Với mọi $f\in L^2_d$(G), ta có

trong đó $c(\pi )$ là bậc hình thức của $\pi$ đối với $\{e\}$.