Exercice 18, § 3

Soit $G =\mathbf{S}\mathbf{L}(2,\mathbf{R})$. On note N et P les sous-groupes

N = $|t\in \mathbf{R}$, P = $-_1|a\in \mathbf{R}_*, t\in \mathbf{R}$

0 1 $0a$

de G. Soit $\pi$ une représentation unitaire de G dans un espace hilbertien complexe E. On suppose qu’il existe $x\in E$ tel que $\pi (n)x=x$ pour tout $n\in N$. a) L’espace homogène $\mathbf{S}\mathbf{L}(2,\mathbf{R})/N$ s’identifie à $\mathbf{R}^2-\{0\}$ par l’application $g\mapsto$ $ge_1$ où $e_1$ est le premier vecteur de la base canonique de $\mathbf{R}^2$, et l’espace homogène $\mathbf{S}\mathbf{L}(2,\mathbf{R})/P$ s’identifie au sous-espace $(\mathbf{R}-\{0\})\times \{0\}$ de $\mathbf{S}\mathbf{L}(2,\mathbf{R})/N$. b) Toute fonction continue $f$ sur G telle que $f(ngn') =f(g)$ pour tout $(n, n')\in N^2$ vérifie $f(pgp') =f(g)$ pour tout $(p, p')\in P^2$. (Interpréter $f$ comme une fonction continue $\varphi$ sur $\mathbf{R}^2-\{0\}$ invariante par l’action naturelle de N et vérifier qu’elle est constante sur $\mathbf{S}\mathbf{L}(2,R)/P.$)

c) On a $\pi (g)x=x$ pour tout $x\in G$.