Bài tập 18, § 3

Cho $G =\mathbf{S}\mathbf{L}(2,\mathbf{R})$. Ta ký hiệu N và P là các nhóm con

N = $|t\in \mathbf{R}$, P = $-_1|a\in \mathbf{R}_*, t\in \mathbf{R}$

0 1 $0a$

của G. Cho $\pi$ là một biểu diễn unita của G trong một không gian Hilbert phức E. Giả sử tồn tại $x\in E$ sao cho $\pi (n)x=x$ với mọi $n\in N$. (a) Không gian thuần nhất $\mathbf{S}\mathbf{L}(2,\mathbf{R})/N$ được đồng nhất với $\mathbf{R}^2-\{0\}$ bởi ánh xạ $g\mapsto$ $ge_1$ trong đó $e_1$ là vectơ nguyên tố của cơ sở chính tắc của $\mathbf{R}^2$, và không gian thuần nhất $\mathbf{S}\mathbf{L}(2,\mathbf{R})/P$ được đồng nhất với không gian con $(\mathbf{R}-\{0\})\times \{0\}$ của $\mathbf{S}\mathbf{L}(2,\mathbf{R})/N$. (b) Mọi hàm liên tục $f$ trên G sao cho $f(ngn') =f(g)$ với mọi $(n, n')\in N^2$ đều thỏa mãn $f(pgp') =f(g)$ với mọi $(p, p')\in P^2$. (Xem $f$ như một hàm liên tục $\varphi$ trên $\mathbf{R}^2-\{0\}$ bất biến dưới tác động tự nhiên của N và kiểm tra rằng nó là hằng trên $\mathbf{S}\mathbf{L}(2,R)/P.$)

(c) Ta có $\pi (g)x=x$ với mọi $x\in G$.