Exercice 19, § 3

Soit $n\geqslant 2$ un entier. On considère le groupe de Lie réel $G =\mathbf{S}\mathbf{L}(n,\mathbf{R})$. On note N et H les sous-groupes fermés de G dont les éléments sont de la forme par blocs

$($Id$_{n-1}x)_{n-1}(g0)$

0 1 0 1

respectivement. Le groupe N s’identifie à $\mathbf{R}^{n-1}$ et le groupe H s’identifie à $\mathbf{S}\mathbf{L}(n-1,\mathbf{R})$.

a) Soit $\pi$ une représentation unitaire de G dans un espace hilbertien complexe E. Un élément $x$ de E est invariant par G si et seulement s’il est invariant par N. b) Si $n\geqslant 3$, alors le groupe G a la propriété ]T[. (Combiner le résultat de la question précédente avec l’exercice précédent.)

c) Si $n\geqslant 3$, alors le groupe $\widetilde{G} =\mathbf{R}^n\rtimes G$ a la propriété ]T[. (Soit $\pi$ une représentation unitaire telle que 1$_{\widetilde{G}}\leqslant \pi$; il existe un vecteur $x\not = 0$ invariant par le sous-groupe G de $\widetilde{G}$ d’après la question précédente ; montrer que le coefficient matriciel correspondant est constant.)

d) Si $n\geqslant 3$, le groupe $\mathbf{S}\mathbf{L}(n,\mathbf{Z})$ a la propriété ]T[. (Utiliser l’exercice 7 de INT, VII, p. 116.)

e) Soit $n\geqslant 3$. Le groupe $\mathbf{S}\mathbf{L}(n,\mathbf{Z})$ est finiment engendré. Soit $\mathscr{H}$ la famille des sous-groupes normaux d’indice fini de $\mathbf{S}\mathbf{L}(n,\mathbf{Z})$; elle est infinie. Pour toute partie génératrice finie S de $\mathbf{S}\mathbf{L}(n,\mathbf{Z})$, la famille des graphes de Cayley $(\mathscr{G}(\mathbf{S}\mathbf{L}(n,\mathbf{Z})/H$, SH$/H))_{H\in\mathscr{H}}$ est une famille de graphes expanseurs (cf. TA, 2, p. 221, exercice 7 et exercice 16 de IV, p. 323).