Bài tập 19, § 3

Cho $n\geqslant 2$ là một số nguyên. Xét nhóm Lie thực $G =\mathbf{S}\mathbf{L}(n,\mathbf{R})$. Kí hiệu N và H là các nhóm con đóng của G mà các phần tử có dạng khối

$($Id$_{n-1}x)_{n-1}(g0)$

0 1 0 1

tương ứng. Nhóm N được đồng nhất với $\mathbf{R}^{n-1}$ và nhóm H được đồng nhất với $\mathbf{S}\mathbf{L}(n-1,\mathbf{R})$.

a) Cho $\pi$ là một biểu diễn unita của G trong một không gian Hilbert phức E. Một phần tử $x$ của E là bất biến dưới G khi và chỉ khi nó bất biến dưới N. b) Nếu $n\geqslant 3$, thì nhóm G có tính chất ]T[. (Kết hợp kết quả của câu hỏi trước với bài tập trước.)

c) Nếu $n\geqslant 3$, thì nhóm $\widetilde{G} =\mathbf{R}^n\rtimes G$ có tính chất ]T[. (Cho $\pi$ là một biểu diễn unita sao cho 1$_{\widetilde{G}}\leqslant \pi$; tồn tại một vectơ $x\not = 0$ bất biến dưới nhóm con G của $\widetilde{G}$ theo câu hỏi trước; bây giờ chứng minh rằng hệ số ma trận tương ứng là hằng.)

d) Nếu $n\geqslant 3$, nhóm $\mathbf{S}\mathbf{L}(n,\mathbf{Z})$ có tính chất ]T[. (Dùng bài tập 7 của INT, VII, p. 116.)

e) Cho $n\geqslant 3$. Nhóm $\mathbf{S}\mathbf{L}(n,\mathbf{Z})$ là sinh hữu hạn. Cho $\mathscr{H}$ là họ các nhóm con chuẩn tắc có chỉ số hữu hạn của $\mathbf{S}\mathbf{L}(n,\mathbf{Z})$; nó là vô hạn. Với mọi tập con sinh hữu hạn S của $\mathbf{S}\mathbf{L}(n,\mathbf{Z})$, họ các đồ thị Cayley $(\mathscr{G}(\mathbf{S}\mathbf{L}(n,\mathbf{Z})/H$, SH$/H))_{H\in\mathscr{H}}$ là một họ các đồ thị mở rộng (xem TA, 2, p. 221, bài tập 7 và bài tập 16 của IV, p. 323).