Exercice 2, § 3

Soit G un groupe localement compact. Pour toute fonction de type positif $\varphi$ sur G, on note $(\pi_{\varphi}, x_{\varphi})$ une représentation hilbertienne cyclique de $\varphi$.

a) Soient $\varphi_1,\varphi_2$ et $\varphi_3$ des fonctions de type positif sur G. Si $\varphi_3=\varphi_1+\varphi_2$, alors il existe un G-morphisme injectif de $\pi_{\varphi_1}$ dans $\pi_{\varphi_3}$.

b) Si $\varphi$ est une fonction de type positif constante et non nulle, alors $\pi_{\varphi}$ est triviale de dimension 1.

c) Pour toute représentation unitaire $\pi$ de G dans un espace hilbertien E, et pour tout $x\in E$, il existe un G-morphisme injectif de $\pi_{\varphi}$ dans $\pi$, où $\varphi (g) =\langle x|\pi (g)x\rangle$.

d) Soient H un sous-groupe fermé de G et $\varphi$ une fonction de type positif sur G. Notons $\psi$ la restriction de $\varphi$ à H ; c’est une fonction de type positif sur H, et il existe un H-morphisme injectif de $\pi_{\psi}$ dans Res$^H_H(\pi )$.