Bài tập 2, § 3

Cho G là một nhóm compact địa phương. Với mọi hàm kiểu dương $\varphi$ trên G, ký hiệu $(\pi_{\varphi}, x_{\varphi})$ là một biểu diễn Hilbert cyclic của $\varphi$.

a) Cho $\varphi_1,\varphi_2$ và $\varphi_3$ là các hàm kiểu dương trên G. Nếu $\varphi_3=\varphi_1+\varphi_2$, thì tồn tại một G-cấu xạ đơn ánh từ $\pi_{\varphi_1}$ vào $\pi_{\varphi_3}$.

b) Nếu $\varphi$ là một hàm hằng khác không kiểu dương, thì $\pi_{\varphi}$ là tầm thường và có chiều 1.

c) Với mọi biểu diễn unita $\pi$ của G trong một không gian Hilbert E, và với mọi $x\in E$, tồn tại một G-cấu xạ đơn ánh từ $\pi_{\varphi}$ vào $\pi$, trong đó $\varphi (g) =\langle x|\pi (g)x\rangle$.

d) Cho H là một nhóm con đóng của G và $\varphi$ là một hàm kiểu dương trên G. Ký hiệu $\psi$ là hạn chế của $\varphi$ lên H; đó là một hàm kiểu dương trên H, và tồn tại một H-cấu xạ đơn ánh từ $\pi_{\psi}$ vào Res$^H_H(\pi )$.