Exercice 20, § 3

Soient G un groupe localement compact et $\mu$ une mesure de Haar à gauche sur G. On note Δ le module de G. Pour toute fonction $f$ sur G, on notera $\widetilde{f}= \Delta f^*$.

Une mesure $\nu$ sur G est dite de type positif si $\langle \nu ,\widetilde{f}*f\rangle \geqslant 0$ pour toute fonction $f\in \mathscr{K}(G)$. Une fonction localement intégrable $\varphi$ sur G est dite de type positif si $\langle \varphi , f^**f\rangle \geqslant 0$ pour toute fonction $f\in \mathscr{K}(G)$.

a) Supposons que $\nu$ est bornée. La mesure $\nu$ est de type positif si et seulement si $\boldsymbol{\gamma }(\nu )\geqslant 0$.

b) Soit $\varphi \in \mathscr{K}(G)$. La fonction $\varphi$ est de type positif comme fonction localement intégrable si et seulement si elle l’est selon la définition 4 de V, p. 442.

c) Soit $\nu$ une mesure de type positif sur G. La formule

définit une forme hermitienne positive sur $\mathscr{K}(G)$. On note $E_{\nu}$ l’espace hilbertien séparé-complété de $\mathscr{K}(G)$ muni de cette forme hermitienne.

d) Pour $f\in \mathscr{K}$ (G), la fonction $\sigma (g)f:g\mapsto (\varepsilon_g*f)\Delta^{1/2}$ appartient à $\mathscr{K}(G)$ et $\|\sigma (g)f\|_{\nu}=\|f\|_{\nu}$. L’application $g\mapsto \sigma (g)$ s’étend en une représentation unitaire de G dans $E_{\nu}$.

e) Soient U un voisinage ouvert de $e$ dans G et $\nu$ une mesure de type positif sur G tels qu’il existe un nombre réel $c\geqslant 0$ de sorte que

si $f\in \mathscr{K}(G)$ est positive et nulle en dehors de U. Il existe une fonction continue de type positif $\varphi$ sur G telle que $\nu =\varphi \Delta^{-1/2}\cdot \mu$. (Soit $j$ le morphisme canonique de $\mathscr{K}(G)$ dans $E_{\nu}$; si $\mathfrak{B}$ est une base du filtre des voisinages de $e$ dont les éléments sont contenus dans U et $f_V\in \mathscr{K}_+(G)$ est une fonction à support dans $V\in \mathfrak{B}$ d’intégrale 1, démontrer que $j(f_V)$ converge faiblement selon $\mathfrak{B}$ vers un élément $y_0$ de $E_{\nu}$ tel que

pour $f\in \mathscr{K}(G)$; posant $\varphi (g) = (y_0|\sigma (g)y_0)$, vérifier que $\varphi$ a les propriétés demandées.)

f) Soient $\varphi_1$ une fonction continue de type positif sur G et $\varphi_2$ une fonction localement intégrable de type positif. Si $\varphi_1-\varphi_2$ est de type positif, alors $\varphi_2$ est égale localement presque partout à une fonction continue de type positif. (Vérifier que l’on peut appliquer la question précédente.)