Bài tập 20, § 3

Cho G là một nhóm compact địa phương và $\mu$ là một độ đo Haar trái trên G. Ta ký hiệu bởi Δ môđun của G. Với mọi hàm $f$ trên G, ta viết $\widetilde{f}= \Delta f^*$.

Một độ đo $\nu$ trên G được gọi là có kiểu dương nếu $\langle \nu ,\widetilde{f}*f\rangle \geqslant 0$ với mọi hàm $f\in \mathscr{K}(G)$. Một hàm khả tích địa phương $\varphi$ trên G được gọi là có kiểu dương nếu $\langle \varphi , f^**f\rangle \geqslant 0$ với mọi hàm $f\in \mathscr{K}(G)$.

a) Giả sử rằng $\nu$ bị chặn. Độ đo $\nu$ có kiểu dương khi và chỉ khi $\boldsymbol{\gamma }(\nu )\geqslant 0$.

b) Cho $\varphi \in \mathscr{K}(G)$. Hàm $\varphi$ có kiểu dương với tư cách là một hàm khả tích địa phương khi và chỉ khi nó có tính chất ấy theo Định nghĩa 4 của V, p. 442.

c) Cho $\nu$ là một độ đo kiểu dương trên G. Công thức

xác định một dạng Hermit dương trên $\mathscr{K}(G)$. Ta ký hiệu bởi $E_{\nu}$ không gian Hilbert tách-rồi-hoàn chỉnh của $\mathscr{K}(G)$ được trang bị dạng Hermit này.

d) Với $f\in \mathscr{K}$ (G), hàm $\sigma (g)f:g\mapsto (\varepsilon_g*f)\Delta^{1/2}$ thuộc $\mathscr{K}(G)$ và $\|\sigma (g)f\|_{\nu}=\|f\|_{\nu}$. Ánh xạ $g\mapsto \sigma (g)$ kéo dài thành một biểu diễn unita của G trong $E_{\nu}$.

e) Cho U là một lân cận mở của $e$ trong G và $\nu$ là một độ đo kiểu dương trên G sao cho tồn tại một số thực $c\geqslant 0$ thỏa mãn

nếu $f\in \mathscr{K}(G)$ dương và bằng không ở ngoài U. Tồn tại một hàm liên tục kiểu dương $\varphi$ trên G sao cho $\nu =\varphi \Delta^{-1/2}\cdot \mu$. (Cho $j$ là cấu xạ chính tắc từ $\mathscr{K}(G)$ vào $E_{\nu}$; nếu $\mathfrak{B}$ là một cơ sở của bộ lọc các lân cận của $e$ mà các phần tử đều được chứa trong U và $f_V\in \mathscr{K}_+(G)$ là một hàm có giá đỡ trong $V\in \mathfrak{B}$ và có tích phân bằng 1, hãy chứng minh rằng $j(f_V)$ hội tụ yếu theo $\mathfrak{B}$ đến một phần tử $y_0$ của $E_{\nu}$ sao cho

với $f\in \mathscr{K}(G)$; đặt $\varphi (g) = (y_0|\sigma (g)y_0)$, hãy kiểm tra rằng $\varphi$ có các tính chất cần có.)

f) Cho $\varphi_1$ là một hàm liên tục kiểu dương trên G và $\varphi_2$ là một hàm khả tích địa phương kiểu dương. Nếu $\varphi_1-\varphi_2$ có kiểu dương, thì $\varphi_2$ địa phương bằng hầu khắp nơi với một hàm liên tục kiểu dương. (Hãy kiểm tra rằng có thể áp dụng câu hỏi trước.)