Exercice 22, § 3

On conserve les notations de l’exercice précédent.

Soit $f$ une fonction continue de type positif appartenant à $\mathscr{L}^2(G)$.

a) Il existe une suite croissante $(p_n)_{n\in\mathbf{N}}$ de fonctions polynôme sur $[0\surd ,1]$ qui converge uniformément dans $[0,1]$ vers la fonction $t\mapsto t$. b) On suppose que $f$ est sobre et que $0\leqslant f\leqslant 1$ dans $\mathscr{L}(L^2(G))$. Il existe une suite $(h_n)$ dans $\mathscr{L}^2(G)$ vérifiant les conditions suivantes :

(i) Chaque $h_n$ est sobre et de type positif ;

(ii) La fonction $h_{n+1}-h_n$ est de type positif pour tout $n\in \mathbf{N}$;

(iii) Les endomorphismes $\varrho (h_n)$ commutent deux à deux ;

(iv) On a $\varrho (h_n)^2\leqslant \varrho (f)$ pour tout $n$.

c) La suite $(h_n)_{n\in\mathbf{N}}$ converge dans $\mathscr{L}^2(G)$; si $h$ est une limite de $(h_n)$, alors $h$ est de type positif et sobre, et vérifie $\varrho (h)^2=\varrho (f)$; on a $f=h*h$. d) On ne suppose plus que $f$ est sobre. Pour $t\in \mathbf{R}$, on note $p_t$ le projecteur spectral de l’opérateur partiel auto-adjoint $\varrho (f)$ défini par$]-\infty , t]$. On a $p_t\circ \boldsymbol{\gamma }(g) =\boldsymbol{\gamma }(g)\circ p_t$ pour tout $t\in \mathbf{R}$ et $g\in G$.

e) Pour $t\in \mathbf{R}$, posons $f_t=p_t(f)$; c’est la classe dans $L^2(G)$ d’une fonction continue de type positif sobre dans $\mathscr{L}^2(G)$. (Vérifier que $\boldsymbol{\gamma }(\varphi )f_t=\varrho (f)p_t(g)$ pour $g\in \mathscr{K}$ (G), et en déduire que $\varrho (f_t) =\varrho (f)\circ p_t$, puis appliquer les résultats de l’exercice 20.)

f ) Il existe $h\in \mathscr{L}^2(G)$ tel que $f=h*h$. (Considérer $f_n=p_n(f)$ pour $n\in \mathbf{N}$ et appliquer la question c).)