Bài tập 22, § 3

Ký hiệu của bài tập trước được giữ nguyên.

Cho $f$ là một hàm liên tục kiểu dương thuộc $\mathscr{L}^2(G)$.

a) Tồn tại một dãy tăng $(p_n)_{n\in\mathbf{N}}$ các hàm đa thức trên $[0\surd ,1]$ hội tụ đều trên [0,1] tới hàm $t\mapsto t$. b) Giả sử rằng $f$ bị chặn và rằng $0\leqslant f\leqslant 1$ trong $\mathscr{L}(L^2(G))$. Tồn tại một dãy $(h_n)$ trong $\mathscr{L}^2(G)$ thỏa mãn các điều kiện sau :

(i) Mỗi $h_n$ đều bị chặn và có kiểu dương ;

(ii) Hàm $h_{n+1}-h_n$ có kiểu dương với mọi $n\in \mathbf{N}$;

(iii) Các nội cấu $\varrho (h_n)$ giao hoán từng đôi một ;

(iv) Ta có $\varrho (h_n)^2\leqslant \varrho (f)$ với mọi $n$.

c) Dãy $(h_n)_{n\in\mathbf{N}}$ hội tụ trong $\mathscr{L}^2(G)$; nếu $h$ là một giới hạn của $(h_n)$, thì $h$ có kiểu dương và bị chặn, và thỏa mãn $\varrho (h)^2=\varrho (f)$; ta có $f=h*h$. d) Không còn giả sử rằng $f$ bị chặn nữa. Với $t\in \mathbf{R}$, ký hiệu $p_t$ là phép chiếu phổ của toán tử riêng phần tự liên hợp $\varrho (f)$ xác định bởi $]-\infty , t]$. Ta có $p_t\circ \boldsymbol{\gamma }(g) =\boldsymbol{\gamma }(g)\circ p_t$ với mọi $t\in \mathbf{R}$ và $g\in G$.

e) Với $t\in \mathbf{R}$, đặt $f_t=p_t(f)$; đó là lớp trong L^2(G) của một hàm liên tục bị chặn có kiểu dương trong $\mathscr{L}^2(G)$. (Hãy kiểm tra rằng $\boldsymbol{\gamma }(\varphi )f_t=\varrho (f)p_t(g)$ với $g\in \mathscr{K}$ (G), và suy ra rằng $\varrho (f_t) =\varrho (f)\circ p_t$, rồi áp dụng các kết quả của Bài tập 20.)

f ) Tồn tại $h\in \mathscr{L}^2(G)$ sao cho $f=h*h$. (Xét $f_n=p_n(f)$ với $n\in \mathbf{N}$ và áp dụng phần c).)