Exercice 23, § 3

On note $G =\mathbf{R}^*_+$; c’est un groupe commutatif localement compact et la mesure $\mu=dx/x$ est une mesure de Haar sur G. Le groupe G et le groupe $i\mathbf{R}$ sont en dualité par l’application $(x, it)\mapsto x^{it}$, la mesure duale de $\mu$ étant la mesure de Lebesgue sur $i\mathbf{R}($cf. cor. 4 de II, p. 236). On notera $\mathscr{F}$ la transformation de Fourier de G et $\overline{\mathscr{F}}$ la cotransformation de Fourier de $\widehat{G}$.

On notera X la fonction identique de G.

a) Soit $\nu$ une mesure positive sur G. On note $I_{\nu}$ l’ensemble des $\sigma \in \mathbf{R}$ tels que la fonction $X^{\sigma}$ est $\nu$-intégrable, et $B_{\nu}$ l’ensemble des $s\in \mathbf{R}$ tels que $\mathscr{R}(s)\in I_{\nu}$. L’ensemble $I_{\nu}$ est un intervalle de $\mathbf{R}$ et la fonction $s\mapsto \nu (X^s)$ est définie et holomorphe dans l’intérieur de $B_{\nu}$.

b) Soit $f$ une fonction localement intégrable sur G. On note $I_f= I_{f\cdot\mu}$ et $B_f= B_{f\cdot\mu}$. Pour tout $s\in B_f$, on pose

S’il existe $\delta >0$ et $c\geqslant 0$ tels que $|\widehat{f}(s)|\leqslant c(1 +|s|)^{-1-\delta}$ pour $s\in B_f$, alors pour tout $\sigma$ dans l’intérieur de $B_f$, on a

c) Soit $f\in \mathscr{L}^2(G)$. On suppose que 0 appartient à l’intérieur de $I_f$. On a alors $\overline{\mathscr{F}}f(it) =\widehat{f}(it)$ pour presque tout $t\in G$. d) Soient $f$ et $g$ des fonctions mesurables sur G. Soit $\sigma$ un nombre réel tel que $X^{-2\sigma}f\in L^2(G)$ et $X^{2\sigma}g\in L^2(G)$. On a alors

e) Soient $f$ et $g$ des fonctions mesurables sur G. On suppose que

(i) Il existe $c\in \mathbf{R}$ tel que $|f(x)|\leqslant c x/(1 +x)$ pour tout $x\in G$;

(ii) On a$]0,1[\subset I_g$ et pour tout $\sigma$ tel que $0< \sigma <1$, la fonction $X^{\sigma}g$ est bornée ;

(iii) Il existe $c'\in \mathbf{R}$ tel que $|\widehat{g}(s)|\leqslant c'(1 +|s|)^{-2}$ pour tout $s\in \mathbf{C}$ tel que $\mathscr{R}(s)\in ]0,1[$.

Alors on a

pour tout $\sigma \in \mathbf{R}$ tel que $0< \sigma <1$.

f) Soit $\sigma \in \mathbf{R}$ et soit $f\in \mathscr{C}(\sigma +i\mathbf{R})$. Il existe une mesure positive $\nu$ sur G telle que $\sigma \in I_{\nu}$ et $\widehat{\nu}(\sigma +it) =f(\sigma +it)$ pour tout $t\in \mathbf{R}$ si et seulement si pour tout entier $n\geqslant 1$, toute famille $(t_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ de nombres complexes et toute famille $(z_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ de nombres complexes tels que $\mathscr{R}(z_i) =\sigma$ pour tout $i$, on a

$nn$

2

$i=0j=0$