Bài tập 23, § 3

Cho $G =\mathbf{R}^*_+$; nó là một nhóm giao hoán compact địa phương và độ đo $\mu=dx/x$ là một độ đo Haar trên G. Nhóm G và nhóm $i\mathbf{R}$ đối ngẫu với nhau qua ánh xạ $(x, it)\mapsto x^{it}$, độ đo đối ngẫu của $\mu$ là độ đo Lebesgue trên $i\mathbf{R}($cf. hệ quả 4 của II, p. 236). Ta ký hiệu $\mathscr{F}$ là biến đổi Fourier của G và $\overline{\mathscr{F}}$ là biến đổi đối Fourier của $\widehat{G}$.

Ta ký hiệu X là hàm đồng nhất của G.

a) Cho $\nu$ là một độ đo dương trên G. Ta ký hiệu $I_{\nu}$ là tập hợp các $\sigma \in \mathbf{R}$ sao cho hàm $X^{\sigma}$ là $\nu$-khả tích, và $B_{\nu}$ là tập hợp các $s\in \mathbf{R}$ sao cho $\mathscr{R}(s)\in I_{\nu}$. Tập hợp $I_{\nu}$ là một khoảng của $\mathbf{R}$ và hàm $s\mapsto \nu (X^s)$ được xác định và chỉnh hình trong phần trong của $B_{\nu}$.

b) Cho $f$ là một hàm khả tích địa phương trên G. Ta ký hiệu $I_f= I_{f\cdot\mu}$ và $B_f= B_{f\cdot\mu}$. Với mọi $s\in B_f$, ta đặt

Nếu tồn tại $\delta >0$ và $c\geqslant 0$ sao cho $|\widehat{f}(s)|\leqslant c(1 +|s|)^{-1-\delta}$ với $s\in B_f$, thì với mọi $\sigma$ trong phần trong của $B_f$, ta có

c) Cho $f\in \mathscr{L}^2(G)$. Giả sử rằng 0 thuộc phần trong của $I_f$. Khi đó ta có $\overline{\mathscr{F}}f(it) =\widehat{f}(it)$ với hầu hết mọi $t\in G$. d) Cho $f$ và $g$ là các hàm đo được trên G. Cho $\sigma$ là một số thực sao cho $X^{-2\sigma}f\in L^2(G)$ và $X^{2\sigma}g\in L^2(G)$. Khi đó ta có

e) Cho $f$ và $g$ là các hàm đo được trên G. Giả sử rằng

(i) Tồn tại $c\in \mathbf{R}$ sao cho $|f(x)|\leqslant c x/(1 +x)$ với mọi $x\in G$;

(ii) Ta có $]0,1[\subset I_g$ và với mọi $\sigma$ sao cho $0< \sigma <1$, hàm $X^{\sigma}g$ bị chặn ;

(iii) Tồn tại $c'\in \mathbf{R}$ sao cho $|\widehat{g}(s)|\leqslant c'(1 +|s|)^{-2}$ với mọi $s\in \mathbf{C}$ sao cho $\mathscr{R}(s)\in ]0,1[$.

Khi đó ta có

với mọi $\sigma \in \mathbf{R}$ sao cho $0< \sigma <1$.

f) Cho $\sigma \in \mathbf{R}$ và cho $f\in \mathscr{C}(\sigma +i\mathbf{R})$. Tồn tại một độ đo dương $\nu$ trên G sao cho $\sigma \in I_{\nu}$ và $\widehat{\nu}(\sigma +it) =f(\sigma +it)$ với mọi $t\in \mathbf{R}$ khi và chỉ khi với mọi số nguyên $n\geqslant 1$, mọi họ $(t_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ các số phức và mọi họ $(z_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ các số phức sao cho $\mathscr{R}(z_i) =\sigma$ với mọi $i$, ta có

$nn$

2

$i=0j=0$