Exercice 3, § 3

a) Donner un exemple d’algèbre de Banach involutive admettant une forme linéaire positive qui n’est pas continue.

b) Donner un exemple d’algèbre de Banach involutive A, d’une forme linéaire positive continue $\lambda$ sur A, et de réalisations hilbertiennes $(E_1, e_1, \varphi_1)$ et $(E_2, e_2, \varphi_2)$ de $\lambda$ telles que $(E_1, e_1, \varphi_1)$ est une réalisation hilbertienne cyclique et telles que l’unique application linéaire $u$ de la prop. 6 de V, p. 440 ne vérifie pas $u(e_1) =e_2$.