Exercice 4, § 3

Soient A et B des algèbres stellaires. Une application linéaire $u$ de A dans B est dite positive si $u(A_+)\subset B_+$, et totalement positive si, pour tout entier $k\in \mathbf{N}$, l’application $u_k= 1_{\mathbf{C}^k}\otimes u:\mathbf{C}^k\otimes A\rightarrow \mathbf{C}^k\otimes B$ est positive.

a) Soient A une algèbre stellaire unifère, E et F des espaces hilbertiens complexes, $v$ une application linéaire de E dans F et $\varphi$ un morphisme unifère d’algèbres involutives de A dans $\mathscr{L}(F)$ tel que $\|\varphi \|^2=\|\varphi (1)\|$. L’application $u: A\rightarrow \mathscr{L}(E)$ définie par $u(a) =v^*\circ \varphi (a)\circ v$ est totalement positive.

Le but de l’exercice est de démontrer la réciproque de cette assertion (« théorème de Stinespring »). Soient A une algèbre stellaire unifère, E un espace hilbertien complexe, et $u: A\rightarrow \mathscr{L}(E)$ une application linéaire totalement positive.

b) Soit $F = A\otimes E$. Il existe une forme sesquilinéaire positive $q$ sur F telle que

pour tous $(a, b)\in A^2$ et $(x, y)\in E^2$.

Soit $\widehat{F}$ l’espace hilbertien séparé-complété de F pour la forme sesquilinéaire $q$.

c) Soit $b\in A$. L’endomorphisme de F tel que $a\otimes x\mapsto ba\otimes x$ pour tout $a\in A$ et $x\in E$ induit par passage aux quotients un endomorphisme $\varphi (b)$ de $\widehat{F}$ tel que $\|\varphi (b)\|\leqslant \|b\|$; l’application $\varphi : A\rightarrow \mathscr{L}(F)$ est un morphisme unifère d’algèbres involutives.

d) Soit $v$ l’application linéaire de E dans $\widehat{F}$ telle que $v(x)$ est la classe de $1\otimes x$ pour tout $x\in E$. On a $\|v\|^2=\|\varphi (1)\|$, et $u(a) =v^*\circ \varphi (a)\circ v$ pour tout $a\in A$.