Bài tập 4, § 3

Cho A và B là các đại số sao. Một ánh xạ tuyến tính $u$ từ A vào B được gọi là dương nếu $u(A_+)\subset B_+$, và hoàn toàn dương nếu, với mọi số nguyên $k\in \mathbf{N}$, ánh xạ $u_k= 1_{\mathbf{C}^k}\otimes u:\mathbf{C}^k\otimes A\rightarrow \mathbf{C}^k\otimes B$ là dương.

a) Cho A là một đại số sao có đơn vị, E và F là các không gian Hilbert phức, $v$ là một ánh xạ tuyến tính từ E vào F và $\varphi$ là một cấu xạ có đơn vị của các đại số có đối hợp từ A vào $\mathscr{L}(F)$ sao cho $\|\varphi \|^2=\|\varphi (1)\|$. Ánh xạ $u: A\rightarrow \mathscr{L}(E)$ được xác định bởi $u(a) =v^*\circ \varphi (a)\circ v$ là hoàn toàn dương.

Mục đích của bài tập là chứng minh đảo lại của mệnh đề này («định lý Stinespring»). Cho A là một đại số sao có đơn vị, E là một không gian Hilbert phức, và $u: A\rightarrow \mathscr{L}(E)$ là một ánh xạ tuyến tính hoàn toàn dương.

b) Cho $F = A\otimes E$. Tồn tại một dạng sesquilinear dương $q$ trên F sao cho

với mọi $(a, b)\in A^2$ và $(x, y)\in E^2$.

Cho $\widehat{F}$ là không gian Hilbert tách và hoàn thành của F đối với dạng sesquilinear $q$.

c) Cho $b\in A$. Tự đồng cấu của F sao cho $a\otimes x\mapsto ba\otimes x$ với mọi $a\in A$ và $x\in E$ cảm sinh, khi chuyển qua các thương, một tự đồng cấu $\varphi (b)$ của $\widehat{F}$ sao cho $\|\varphi (b)\|\leqslant \|b\|$; ánh xạ $\varphi : A\rightarrow \mathscr{L}(F)$ là một cấu xạ có đơn vị của các đại số có đối hợp.

d) Cho $v$ là ánh xạ tuyến tính từ E vào $\widehat{F}$ sao cho $v(x)$ là lớp của $1\otimes x$ với mọi $x\in E$. Ta có $\|v\|^2=\|\varphi (1)\|$, và $u(a) =v^*\circ \varphi (a)\circ v$ với mọi $a\in A$.