Exercice 5, § 3

Soit X un espace topologique séparé. Une fonction continue $f: X\times X\rightarrow \mathbf{R}$ est dite conditionnellement de type négatif si elle vérifie les conditions

(i) Pour tout $x\in X$, on a $f(x, x) = 0$;

(ii) Pour tous $x$ et $y$ dans X, on a $f(x, y) =f(y, x)$;

(iii) Pour tout entier $n\in \mathbf{N}$, toute famille $(x_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ d’éléments de X et toute famille tout $(t_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ de nombres réels tels que

on a

On note Noy$_-(X)$ l’ensemble des fonctions conditionnellement de type négatif sur $X\times X$.

a) Soient E un espace hilbertien réel et $\varphi : X\rightarrow E$ une application continue. La fonction $f(x, y) =\|\varphi (x)-\varphi (y)\|^2$ est conditionnellement de type négatif. b) Soient $f\in$ Noy$_-(X)$ et $x_0\in X$. Il existe un espace hilbertien réel E et une application continue $\varphi : X\rightarrow E$ tels que

a) Pour tout $(x, y)\in X\times X$, on a $f(x, y) =\|\varphi (x)-\varphi (y)\|^2$;

b) La famille $(\varphi (x)-\varphi (x_0))_{x\in X}$ est totale dans E.

On dit que $(E, \varphi )$ est une représentation hilbertienne cyclique de $f$.

c) Soient $f\in$ Noy$_-(X)$ et $x_0\in X$. Soient $(E, \varphi )$ et $(E', \varphi ')$ des représentations hilbertiennes cycliques de $f$. Il existe une unique isométrie affine $u: E\rightarrow E'$ telle que $\varphi '=u\circ \varphi$.

d) L’ensemble Noy$_-(X)$ est un cône convexe dans $\mathscr{C}(X\times X;\mathbf{R})$. Pour tout noyau universellement positif $g\in$ Noy$_+(X)$ tel que $g$ est à valeurs réelles, l’application $f(x, y) =g(x, x)-g(x, y)$ appartient à Noy$_-(X)$.

e) Soit $\mathfrak{F}$ un filtre sur Noy$_-(X)$ qui converge simplement vers $f: X\times X\rightarrow \mathbf{R}$. Si $f$ est continue, alors $f\in$ Noy$_-(X)$.

f ) Soit $f: X\times X\rightarrow \mathbf{R}$ une fonction continue vérifiant les conditions (i) et (ii) ci-dessus. Soit $x_0\in X$. Soit $g: X\times X\rightarrow \mathbf{R}$ telle que $g(x, y) =f(x, x_0) +$ $f(y, x_0)-f(x, y)$. Alors $f\in$ Noy$_-(X)$ si et seulement si $g\in$ Noy$_+(X)$.

g) Supposons X non vide. Soit $f: X\times X\rightarrow \mathbf{R}$ une fonction continue vérifiant les conditions (i) et (ii) ci-dessus. Alors $f\in$ Noy$_-(X)$ si et seulement si on a exp($-tf$)$\in$ Noy$_+(X)$ pour tout $t\in \mathbf{R}_+$ (« théorème de Schoenberg »). (Pour démontrer que exp($-f$) est de type positif lorsque $f\in$ Noy$_-$(X), fixer $x_0\in X$; montrer que

$g(x, y) =$ exp($f(x, x_0) +f(y, x_0)-f(x, y)$)

et

$h(x, y) =$ exp($-f(x, x_0)$) exp($-f(y, x_0)$)

appartiennent à Noy$_+(X).)$

Si G est un groupe topologique, on dit qu’une fonction $\varphi \in \mathscr{C}(G)$ est de type négatif si la fonction $f$ sur $G\times G$ définie par $f(g, h) =\varphi (h^{-1}g)$ est un noyau conditionnellement de type négatif.