Bài tập 5, § 3

Cho X là một không gian tôpô tách. Một hàm liên tục $f: X\times X\rightarrow \mathbf{R}$ được gọi là có kiểu âm có điều kiện nếu nó thỏa mãn các điều kiện

(i) Với mọi $x\in X$, ta có $f(x, x) = 0$;

(ii) Với mọi $x$ và $y$ thuộc X, ta có $f(x, y) =f(y, x)$;

(iii) Với mọi số nguyên $n\in \mathbf{N}$, mọi họ $(x_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ các phần tử của X và mọi họ $(t_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ các số thực sao cho

ta có

Ký hiệu Noy$_-(X)$ là tập hợp các hàm có kiểu âm có điều kiện trên $X\times X$.

a) Cho E là một không gian Hilbert thực và $\varphi : X\rightarrow E$ là một ánh xạ liên tục. Hàm $f(x, y) =\|\varphi (x)-\varphi (y)\|^2$ có kiểu âm có điều kiện.

b) Cho $f\in$ Noy$_-(X)$ và $x_0\in X$. Tồn tại một không gian Hilbert thực E và một ánh xạ liên tục $\varphi : X\rightarrow E$ sao cho

a) Với mọi $(x, y)\in X\times X$, ta có $f(x, y) =\|\varphi (x)-\varphi (y)\|^2$;

b) Họ $(\varphi (x)-\varphi (x_0))_{x\in X}$ là toàn trong E.

Ta nói rằng $(E, \varphi )$ là một biểu diễn Hilbert chu kỳ của $f$.

c) Cho $f\in$ Noy$_-(X)$ và $x_0\in X$. Cho $(E, \varphi )$ và $(E', \varphi ')$ là các biểu diễn Hilbert chu kỳ của $f$. Tồn tại một đẳng cự affine duy nhất $u: E\rightarrow E'$ sao cho $\varphi '=u\circ \varphi$.

d) Tập hợp Noy$_-(X)$ là một nón lồi trong $\mathscr{C}(X\times X;\mathbf{R})$. Với mọi hạt nhân dương phổ quát $g\in$ Noy$_+(X)$ sao cho $g$ có giá trị thực, ánh xạ $f(x, y) =g(x, x)-g(x, y)$ thuộc Noy$_-(X)$.

e) Cho $\mathfrak{F}$ là một lọc trên Noy$_-(X)$ hội tụ đơn giản đến $f: X\times X\rightarrow \mathbf{R}$. Nếu $f$ liên tục, thì $f\in$ Noy$_-(X)$.

f ) Cho $f: X\times X\rightarrow \mathbf{R}$ là một hàm liên tục thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) ở trên. Cho $x_0\in X$. Cho $g: X\times X\rightarrow \mathbf{R}$ sao cho $g(x, y) =f(x, x_0) +$ $f(y, x_0)-f(x, y)$. Khi đó $f\in$ Noy$_-(X)$ khi và chỉ khi $g\in$ Noy$_+(X)$.

g) Giả sử X khác rỗng. Cho $f: X\times X\rightarrow \mathbf{R}$ là một hàm liên tục thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii ở trên. Khi đó $f\in$ Noy$_-(X)$ khi và chỉ khi ta có exp($-tf$)$\in$ Noy$_+(X)$ với mọi $t\in \mathbf{R}_+$ ("định lý Schoenberg"). (Để chứng minh rằng exp($-f$) là có kiểu dương khi $f\in$ Noy$_-$(X), cố định $x_0\in X$; hãy chứng minh rằng

$g(x, y) =$ exp($f(x, x_0) +f(y, x_0)-f(x, y)$)

và

$h(x, y) =$ exp($-f(x, x_0)$) exp($-f(y, x_0)$)

thuộc Noy$_+(X).)$

Nếu G là một nhóm tôpô, một hàm $\varphi \in \mathscr{C}(G)$ được gọi là có kiểu âm nếu hàm $f$ trên $G\times G$ xác định bởi $f(g, h) =\varphi (h^{-1}g)$ là một hạt nhân kiểu âm có điều kiện.