Exercice 6, § 3

Soit G un groupe topologique discret. Soit A la sous-algèbre involutive de $\mathscr{L}(\ell^2(G))$ engendrée par l’image de la représentation régulière gauche $\boldsymbol{\lambda }$. C’est une algèbre stellaire unifère.

Pour toute fonction de type positif $\varphi \in$ Pos(G), il existe une unique application linéaire totalement positive $u_{\varphi}$ de A dans A (cf. exercice 4) telle que $u_{\varphi}(\boldsymbol{\lambda }(g)) =\varphi (g)\boldsymbol{\lambda }(g)$ pour tout $g\in G$. (Utiliser une représentation hilbertienne cyclique de $\varphi .$)