Bài tập 6, § 3

Cho G là một nhóm tôpô rời rạc. Gọi A là đại số con đối hợp của $\mathscr{L}(\ell^2(G))$ sinh bởi ảnh của biểu diễn chính quy trái $\boldsymbol{\lambda }$. Nó là một *-đại số có đơn vị.

Với mọi hàm kiểu dương $\varphi \in$ Pos(G), tồn tại một và chỉ một ánh xạ tuyến tính hoàn toàn dương $u_{\varphi}$ của A vào A (xem Bài tập 4) sao cho $u_{\varphi}(\boldsymbol{\lambda }(g)) =\varphi (g)\boldsymbol{\lambda }(g)$ với mọi $g\in G$. (Dùng một biểu diễn Hilbert cyclic của $\varphi .$)