Exercice 7, § 3

Soient I un ensemble fini et G = F(I) le groupe libre construit sur I (A, I, p. 84). Soit A la sous-algèbre involutive de $\mathscr{L}(\ell^2(G))$ engendrée par l’image de la représentation régulière gauche $\boldsymbol{\lambda }$.

a) Pour tout $g\in G$, on note $|g|$ la longueur de l’unique décomposition réduite de $g$ (A, I, p. 146, exercice 19). L’application $d(g, h) =|h^{-1}g|$ est une métrique sur G.

b) Soit $\lambda \in \mathbf{R}^*_+$. La fonction sur G définie par $\psi_{\lambda}(g) =$ exp($-\lambda |g|$) est une fonction de type positif. (Montrer que la fonction $g\mapsto |g|$ est une fonction de type négatif, cf. exercice 5.)

c) Pour tout entier $k\in \mathbf{N}$, soit $G_k$ l’ensemble des $g\in G$ tels que $|g|=k$, et soit $\varphi_k$ la fonction caractéristique de $G_k$. Soient $f$ et $g$ des fonctions sur G à support dans $G_k$ et $G_l$, respectivement. Pour tout $m\in \mathbf{N}$, on a $(f*g)\varphi_m= 0$ sauf si $k+l-m$ est pair et $|k-l|\leqslant m\leqslant k+l$; dans ce cas, on a

d) Soit $f$ une fonction sur G à support fini. On a

et

e) Soit $\psi$ une fonction sur G telle que M = sup$_{g\in G}|\psi (g)|(1 +|g|)^2$ est fini. Il existe une unique application linéaire $u_{\psi}$ de A dans A telle que $u_{\psi}(\boldsymbol{\lambda }(g)) =$ $\psi (g)\boldsymbol{\lambda }(g)$ pour tout $g\in G$. On a $\|u_{\psi}\|\leqslant 2M$.

f ) Soit X l’ensemble des fonctions $\psi$ sur G à support fini telles que $\|u_{\psi}\|\leqslant 1$. Il existe un filtre $\mathfrak{F}$ sur X tel que

lim$_{\psi ,\mathfrak{F}}u_{\psi}= 1_A$

dans l’espace $\mathscr{L}(A)$ muni de la topologie de la convergence simple. En particulier, l’espace de Banach sous-jacent à A vérifie la propriété d’approximation. (Considérer les fonctions $\psi_{\lambda ,n}(g) = (\varphi_0+\cdots +\varphi_n)\psi_{\lambda}$ pour $\lambda \in \mathbf{R}_+^*$ et $n\in \mathbf{N}$, et utiliser l’exercice précédent.)