Bài tập 7, § 3

Cho I là một tập hợp hữu hạn và G = F(I) là nhóm tự do xây dựng trên I (A, I, p. 84). Gọi A là đại số con có đối hợp của $\mathscr{L}(\ell^2(G))$ sinh bởi ảnh của biểu diễn chính quy trái $\boldsymbol{\lambda }$.

a) Với mỗi $g\in G$, gọi $|g|$ là độ dài của phân tích thu gọn duy nhất của $g$ (A, I, p. 146, bài tập 19). Ánh xạ $d(g, h) =|h^{-1}g|$ là một khoảng cách trên G.

b) Gọi $\lambda \in \mathbf{R}^*_+$. Hàm trên G được xác định bởi $\psi_{\lambda}(g) =$ exp($-\lambda |g|$) là một hàm kiểu dương. (Bây giờ chứng minh rằng hàm $g\mapsto |g|$ là một hàm kiểu âm, xem bài tập 5.)

c) Với mỗi số nguyên $k\in \mathbf{N}$, gọi $G_k$ là tập hợp các $g\in G$ sao cho $|g|=k$, và gọi $\varphi_k$ là hàm đặc số của $G_k$. Gọi $f$ và $g$ là các hàm trên G có giá lần lượt trong $G_k$ và $G_l$. Với mỗi $m\in \mathbf{N}$, ta có $(f*g)\varphi_m= 0$ trừ khi $k+l-m$ chẵn và $|k-l|\leqslant m\leqslant k+l$; trong trường hợp này, ta có

d) Gọi $f$ là một hàm trên G có giá hữu hạn. Ta có

và

e) Gọi $\psi$ là một hàm trên G sao cho M = sup$_{g\in G}|\psi (g)|(1 +|g|)^2$ là hữu hạn. Tồn tại một ánh xạ tuyến tính duy nhất $u_{\psi}$ từ A vào A sao cho $u_{\psi}(\boldsymbol{\lambda }(g)) =$ $\psi (g)\boldsymbol{\lambda }(g)$ với mỗi $g\in G$. Ta có $\|u_{\psi}\|\leqslant 2M$.

f ) Gọi X là tập hợp các hàm $\psi$ trên G có giá hữu hạn sao cho $\|u_{\psi}\|\leqslant 1$. Tồn tại một bộ lọc $\mathfrak{F}$ trên X sao cho

lim$_{\psi ,\mathfrak{F}}u_{\psi}= 1_A$

trong không gian $\mathscr{L}(A)$ được trang bị tôpô hội tụ đơn. Đặc biệt, không gian Banach nền của A có tính chất xấp xỉ. (Xét các hàm $\psi_{\lambda ,n}(g) = (\varphi_0+\cdots +\varphi_n)\psi_{\lambda}$ với $\lambda \in \mathbf{R}_+^*$ và $n\in \mathbf{N}$, và dùng bài tập trước.)